입자 분포 확률과 Fermi Level(페르미 준위), 반도체 캐리어 농도

 반도체 캐리어 농도는 반도체의 특성을 분석할 때 필요한 중요한 물성입니다. 결국 반도체란 전류의 흐름을 원하는 때에 원하는 만큼 제어하는 것이기 때문입니다. 하지만 캐리어는 그 크기가 매우 작고, 고정되어 있지 않습니다. 마치 기체 중에 산소나 이산화탄소와 같이 끊임없이 움직이고 있습니다. 그렇다면 캐리어의 농도를 어떻게 측정할 수 있을까요? 이때 사용되는 방법이 바로 통계학적으로 접근하는 방법입니다. 통계학적으로 입자의 분포를 알 수 있는 방법은 맥스웰-볼츠만 분포, 보스-아인슈타인 분포, 그리고 페르미-디락 분포 이렇게 3가지가 있습니다. 물론 고농도로 물질이 도핑되어 있을 때에는 다수 캐리어 1개는 불순물 원자와 동일하게 취급합니다. 불순물 농도에 의해 다수 캐리어의 농도도 결정되는 것입니다. 하지만 반도체를 제어하는 부분에 있어서 그 특성을 변화시키는 것은 대부분 소수 캐리어의 농도에 의해 이루어집니다. 소수 캐리어의 농도는 온도와 그 밖의 의존성 등을 고려하여야 합니다. 통계학적 입자 분포에 대하여 하나씩 살펴보겠습니다.

 

맥스웰-볼츠만 분포

 모든 물리계의 입자들은 각각 다른 속도와 범위에서 자유롭게 이동합니다. 이때 서로 다른 입자들과 충돌을 반복하게 되고, 그 분포는 변하게 됩니다. 이 맥스웰-볼츠만 분포에서 나오는 상수가 바로 볼츠만 상수입니다. 그렇기에 해당 분포는 일정한 계에서 온도에 대한 함수로 표현됩니다. 이 맥스웰-볼츠만 분포는 고전 입자 또는 이상기체의 분포를 설명하는데 주로 사용됩니다.

 

보스-아인슈타인 분포

 이 역시 통계역학에서 사용되는 분포로써, 물질이 열적 평형 상태에 놓였을 때 식별 불가능한 보스 입자들을 통계적인 분포를 결정합니다. 보스 입자는 파울리 배타 원리에 영향을 받지 않는 입자들을 말합니다. 임의의 온도에서 에너지 준위가 입자에 의해 채워질 확률을 나타내기도 합니다. 동일 에너지, 동일 위상, 동일 편광의 특성을 갖는 coherence 광원에 대하여 해당 분포를 적용합니다. 이때, 이 함수를 따르는 입자를 보존이라고 하는데, 대표적으로, 광자가 있습니다. 

 

페르미-디락 분포

 물질이 열적 평형 상태에 다다랐을 때, 페르미 입자들을 통계적으로 산출해내는 분포입니다. 원래 페르미 입자는 구별이 불가능합니다. 그렇기에 서로 상호작용 하지 않는 페르미 입자로 구성된 계를 페르미 기체라고 합니다. 이 역시 보스-아인슈타인 분포와 같이, 임의의 온도에서 에너지 준위가 입자에 의해 채워질 확률을 말합니다. 파울리 배타율이 적용되는 시스템으로써, 입자 분포를 수치적으로 나타냅니다. 이때, 페르미-디락 분포 함수를 따르는 입자들을 fermion(페르미온)이라 합니다. 대표적인 예로써, 고체 내의 전자를 들 수 있습니다. 그렇기에 반도체 캐리어의 농도를 나타날 때, 항상 사용되는 분포입니다.

 

 

파울리의 배타율 / 배타 원리

  페르미 준위에 대하여 깊게 들어가기 전에, 파울리의 배타율 또는 배타 원리에 관해 간략히 정리해보겠습니다. 파울리의 배타 원리는 2개 이상의 전자나 양성자가 동시에 같은 에너지 상태에 있을 수 없다는 것입니다. 한 개의 에너지 레벨에 최대 2개의 전자가 존재할 수 있습니다. 그렇다면 그 2개의 전자는 특성이 같을까요? 위에서 언급한 페르미온에 대하여 파울리의 배타 원리를 적용할 수 있습니다. 전자는 스핀을 하며 에너지 레벨에 존재하게 됩니다. 즉, 파울리의 배타 원리란, 하나의 에너지 레벨에는 2개의 전자가 존재할 수 있고, 그 스핀 방향은 서로 반대라는 것입니다. 이제 페르미 준위에 대하여 살펴보겠습니다. 파울리의 배타율을 만족하는 고체에서 ground state는 절대온도에서 전자가 제일 낮은 에너지 준위부터 채워진 상태를 말합니다. 이는 온도가 상승함에 따라 전자의 점유상태가 페르미-디락 분포 함수를 따르게 됩니다. 임의의 온도에서 열적 평형상태를 이루고 있을 때, 에너지 준위가 전자에 의해 점유될 수 있는 수치를 확률적으로 계산한 것입니다. 페르미 준위는 반도체 내의 캐리어가 존재하는 준위를 설명할 수 있는 기준이 되는 가상의 준위입니다. 즉, conduction band와 valence band 사이 어딘 가에 전자가 존재한다고 할 때, 이 페르미 준위의 에너지 레벨에서 전자를 발견할 수 있는 확률을 나타내는 것이고 이것은 0.5의 값을 갖게 됩니다.

 진성 반도체의 페르미 준위의 경우, 전자와 정공의 캐리어 농도가 같기 때문에, 에너지 밴드갭 중앙에 위치하는 것입니다. 이런 경우 해당 페르미 준위를 Intrinsic Fermi Level (진성 페르미 준위)라고 부릅니다. 한편, 불순물로 도핑한 extrinsic(불순물) 반도체의 페르미 준위는 n형과 p형 반도체로 구분됩니다. 여기서 n형 반도체일 경우, 전도대 바닥과 페르미 준위의 거리는 donor 농도에 대한 로그 함수로 정의됩니다. 즉, donor 농도가 증가할수록, 페르미 준위는 전도대 쪽에 가까워지고, 그에 따라 전자의 농도가 증가하게 되는 것입니다. 반대로, p형 반도체의 경우, 가전자대와 페르미 준위의 거리는 acceptor 농도가 증가할수록, 페르미 준위는 가전자대와 가깝게 되고, 정공의 농도가 증가하게 됩니다.

 한편, 열적 평형 상태에서 캐리어의 농도를 구할 수 있습니다. 캐리어의 농도는 에너지 상태 밀도와 그 상태가 캐리어에 의해 채워질 확률인 분포 함수의 곱에 대한 적분으로 계산할 수 있습니다. 전도대의 전자 농도는 전도대 끝단이 기준이 됨으로, 에너지 상태 밀도 또한 표현이 가능합니다. 또한, 페르미 준위는 온도에 따라 변하게 됩니다. 낮은 온도 영역에서는 전도대와 가전자대의 끝단에 위치하게 됩니다. 그렇기에 자유 캐리어가 존재하지 않고, 해당 물체는 부도체의 특성을 나타나게 됩니다. 온도가 상승할수록 진성 반도체의 페르미 준위와 가까워집니다.

 

-참고문헌-

• Semiconductor Device Fundamentals: International Edition, Robert F. Pierret, Purdue University, Pearson
• IT CookBook, 개념이 보이는 물리전자공학, 이현용, 한빛아카데미
• 과학백과사전, 사이언스올
• 위키백과